为什么要引入齐次坐标

前面我们提到了图像的缩放变换和旋转变换,可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

那么,对于平移变换呢?平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示,一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处,整体大小和角度都没有变化。在x方向和y方向上分别平移了tx和ty大小。

显然:

     \[ x_{2} = x_{1} + t_{x} \] \[ y_{2} = x_{2} + t_{y} \]

这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}   t_{x} \\   t_{y} \end{bmatrix} \]

我们再把前面的缩放变换和旋转变换的矩阵形式写出来:
缩放变换:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   k_{x} && 0 \\   0 && k_{y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \end{bmatrix} \]

旋转变换:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   cos\theta && sin\theta \\   -sin\theta && cons\theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \end{bmatrix} \]

我们注意到,缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上,图像的几何变换通常不是单一的,也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍,然后旋转45度,然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   0.5 && 0 \\   0 && 0.5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   cos45 && -sin45 \\   sin45 && cos45 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   2 && 0 \\   0 && 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \end{bmatrix} \]

这样,不管有多少次变换,都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢?从前面看到,平移变换并不是矩阵乘法的形式,而是矩阵加法的形式!

那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢,这样不管进行多少次变换,都可以表示成矩阵连乘的形式,将极大的方便计算和降低运算量。

这种方法就是“升维”,引入“齐次坐标”,将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}   t_{x} \\   t_{y} \end{bmatrix} \]

将其升维,变成3维,上式就可以表示成:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \\   1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   1 && 0 && t_{x} \\   0 && 1 && t_{y} \\   0 && 0 && 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \\   1 \end{bmatrix} \]

这是个非常优美的地方,学习过矩阵乘法的同学可以算一下右边的式子,是否最终结果与前面是一样的。

这样,平移变换通过升维后的齐次坐标,也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改,统一变成3维的形式。
缩放变换:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \\   1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   k_{x} && 0 && 0 \\   0 && k_{y} && 0 \\   0 && 0 && 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \\   1 \end{bmatrix} \]

旋转变换:

     \[ \begin{bmatrix}   x_{2} \\   y_{2} \\   1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}   cos\theta && -sin\theta && 0 \\   sin\theta && cos\theta && 0 \\   0 && 0 && 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}   x_{1} \\   y_{1} \\   1 \end{bmatrix} \]

终于统一了。以后所有的变换,不管怎样变换,变换多少次,都可以表示成一连串的矩阵相乘了,这是多么的方便。这就是引入齐次坐标的作用,把各种变换都统一了起来。

From:https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/79680364

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