为什么要引入齐次坐标

前面我们提到了图像的缩放变换和旋转变换,可以用矩阵乘法的形式来表达变换后的像素位置映射关系。

那么,对于平移变换呢?平移变换表示的是位置变化的概念。如下图所示,一个图像矩形从中心点[x1,y1]平移到了中心点[x2,y2]处,整体大小和角度都没有变化。在x方向和y方向上分别平移了tx和ty大小。

显然:
[latex]
\[ x_{2} = x_{1} + t_{x} \]
\[ y_{2} = x_{2} + t_{y} \]
[/latex]

这对于图像中的每一个点都是成立的。写成矩阵的形式就是:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
t_{x} \\
t_{y}
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

我们再把前面的缩放变换和旋转变换的矩阵形式写出来:
缩放变换:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{x} && 0 \\
0 && k_{y}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

旋转变换:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta && sin\theta \\
-sin\theta && cons\theta
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

我们注意到,缩放变换和旋转变换都可以表示成矩阵乘法的形式。实际上,图像的几何变换通常不是单一的,也就是说经常性的缩放、旋转、平移一起变换。例如先放大2倍,然后旋转45度,然后再缩小0.5倍。那么就可以表示成矩阵乘法串接的形式:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0.5 && 0 \\
0 && 0.5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
cos45 && -sin45 \\
sin45 && cos45
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 && 0 \\
0 && 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

这样,不管有多少次变换,都可以用矩阵乘法来实现。但是平移变换呢?从前面看到,平移变换并不是矩阵乘法的形式,而是矩阵加法的形式!

那能不能把缩放变换、旋转变换、平移变换统一成矩阵乘法的形式呢,这样不管进行多少次变换,都可以表示成矩阵连乘的形式,将极大的方便计算和降低运算量。

这种方法就是“升维”,引入“齐次坐标”,将图像从平面2D坐标变成3D坐标。我们看看平移变换的矩阵形式:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1}
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
t_{x} \\
t_{y}
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

将其升维,变成3维,上式就可以表示成:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2} \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 && 0 && t_{x} \\
0 && 1 && t_{y} \\
0 && 0 && 1 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1} \\
1
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

这是个非常优美的地方,学习过矩阵乘法的同学可以算一下右边的式子,是否最终结果与前面是一样的。

这样,平移变换通过升维后的齐次坐标,也变成了矩阵乘法的形式。当然缩放变换和旋转变换的矩阵形式也得改一改,统一变成3维的形式。
缩放变换:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2} \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
k_{x} && 0 && 0 \\
0 && k_{y} && 0 \\
0 && 0 && 1 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1} \\
1
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

旋转变换:
[latex]
\[
\begin{bmatrix}
x_{2} \\
y_{2} \\
1
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
cos\theta && -sin\theta && 0 \\
sin\theta && cos\theta && 0 \\
0 && 0 && 1 \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
x_{1} \\
y_{1} \\
1
\end{bmatrix}
\]
[/latex]

终于统一了。以后所有的变换,不管怎样变换,变换多少次,都可以表示成一连串的矩阵相乘了,这是多么的方便。这就是引入齐次坐标的作用,把各种变换都统一了起来。

From:https://blog.csdn.net/saltriver/article/details/79680364

Over!

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